PYTHAGORAS dan TEOREMA PYTHAGORAS

SIAPAKAH PYTHAGORAS ?

Siapa sih yang tidak kenal mengenal Pythagoras? Yang tahu dan cinta banget sama matematika pasti tidak asing lagi dengan teoremanya, kan? Pythagoras (570 SM – 495 SM, bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang ahli matematika dan filsuf Yunani yang terkenal melalui teoremanya.

Pythagoras lahir di pulau Samos, Lonia, sekitar tahun 570 SM. Ayahnya bernama Mnesarchus, yaitu seorang pedagang yang berasal dari Tyre. Pythagoras sering mengadakan perjalanan ke Babilonia, Mesir, bahkan sampai ke India. Pada usia 18 tahun, Pythagoras bertemu dengan Thales yang mengenalkan matematika melalui muridnya yang bernama Anaximander. Namun, Pythagoras memberi pengakuan bahwa gurunya adalah Pherekdes.

Teorema Pythagoras merupakan salah satu peninggalannya yang paling terkenal. Meski fakta menunjukkan bahwa teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kalinya yang berhasil membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah angka. Menurut Pythagoras, angka bukanlah suatu unsur seperti udara dan air yang banyak dipercaya sebagai unsur semua benda karena ia percaya bahwa angka memang bukanlah sebuah unsur. 

Pandangan Pythagoras mengungkapkan bahwa harmoni terjadi berkat angka. Jika segala hal adalah angka, maka hal ini tidak saja berarti bahwa segalanya dapat dihitung, dinilai dan diukur dengan angka dalam hubungan yang proporsional dan teratur. Melainkan berkat angka-angka itu segala sesuatu menjadi harmonis, seimbang. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa tata tertib terjadi melalui angka-angka.

Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geomatrik Mesir. Hasilnya, matematikawan Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Meski demikian, esensi ajaran Pythagoras terus bertahan sampai saat ini. Oleh karena itu, Phytagoras juga dikenal sebagai “Bapak Bilangan”.

INGIN TAHU BAGAIMANA SEJARAHNYA ?

Sebelum mengetahui apa itu teorema Pythagoras, alangkah baiknya terlebih dahulu kita mengetahui bagaimana alur sejarahnya hingga teorema ini dikenal luas dan sangat populer.

Telah kita ketahui bahwa Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh seorang ahli matematika India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana) Yunani, China dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir.

Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Kemudian mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama panjang, seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden meng-hipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790 - 1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.

Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas.

Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks China Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan "Gougu Theorem" (sebagaimana diketahui di China) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan 5.

Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Matematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di China sebagai "Gougu Theorem", dan di India dinamakan "Bhaskara theorem".

Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.

MASIH INGAT DENGAN BUNYI TEOREMA PYTHAGORAS ?

Teorema Phytagoras atau yang lebih dikenal Dalil Pythagoras tidak pernah terlepas dari ruang lingkup ilmu matematika, bukan? Yang merupakan salah satu teorema yang paling sering digunakan secara luas.

Teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan, Pythagoras.

Bunyi Teorema Pythagoras yaitu:

“Pada segitiga siku-siku berlaku bahwa kuadrat sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainnya”.

Hipotenusa adalah sisi miring berbentuk diagonal, dan merupakan sisi terpanjang sebuah segitiga. Lihat gambar di bawah ini:

Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenusa adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut.

Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:

Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya goemetris, sebagai pernyataan tentang luas bujur sangkar:

Jumlah luas bujur sangkar pink (a) dan kuning (b) sama dengan luas bujur sangkar ungu (c).

Sulbasutra India juga menyatakan bahwa:

"Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan horisontalnya. Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisi-sisinya".

Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a+ b = c

NIH RUMUSNYA !

Rumus Pythagoras merupakan rumus yang sering kita pakai dalam ilmu matematika, mulai dari jenjang pendidikan dasar sampai perguruan tinggi. Sering kali bingung dengan rumus ini tentang bagaimana cara membuktikan kebenarannya?

Uraian tentang rumus Pythagoras yang kiranya dapat ditulis seperti di bawah ini:

Rumus asli phytagoras

Untuk membuktikan kebenarannya, dapat di mulai dengan membuat gambar sebuah persegi besar, kemudian gambar lagi sebuah persegi kecil di dalam persegi besar tersebut, seperti gambar berikut:

 

 Perhitungannya :

Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 Luas segitiga

( b + a ) . ( b + a ) = c . c + 4 . 1/2 b.a

b²+ 2 b.a + a² = c² + 2 b.a
b² + a² = c² + 2 b.a – 2 b.a

Sehingga diperoleh:  b² + a² = c²   atau   a² + b² = c²

Berdasarkan rumus di atas, terbukti bahwa sisi miring sebuah segitiga siku – siku adalah akar dari jumlah kuadrat sisi – sisi yang lain.

Keterangan:

a = sisi alas (horizontal),

b = sisi tinggi (vertikal),

c = sisi miring.

Untuk mencari masing-masing sisi dapat menggunakan rumus berikut:

Untuk mencari a:

a = √(c² - b²)

Untuk mencari b:

b = √(c² - a²)

Untuk mencari c:

c = √(a²+ b²)

SEPERTI APA SIH PENERAPANNYA ?

Penerapan teorema Pythagoras dapat dilakukan dalam berbagai bidang, terutama bidang arsitektur atau seni menyusun bangunan. Seorang arsitek dapat mengaplikasikannya untuk mengukur kemiringan bangunan, misalnya kemiringan sebuah tanggul agar mampu menahan tekanan air atau kemiringan sebuah jembatan.

Teorema ini juga sangat membantu dalam menentukan biaya pembuatan bangunan. Bahkan, seorang tukang kayu pun menggunakan teorema Pythagoras untuk membuat segitiga penguat pilar kayu.

Sebetulnya masih banyak lagi penerapan-penerapan teorema ini dalam kehidupan sehari-hari. Kurang lebihnya mungkin masih banyak lagi hal yang belum di kupas dalam artikel ini. Semoga tidak cepat puas membaca dan akan terus membaca dan mencari lagi ilmu-ilmu lainnya tentang matematika.

Gimana? Makin tertarik dengan teorema Pythagoras?

ooo0     Semoga Bermanfaat     0ooo

DAFTAR PUSTAKA

Wikipedia Bahasa Indonesia

Anonim. (2014, September 4). Tahukah Kamu, Asal Mula Teorema Pythagoras? Retrieved Maret 11, 2016, from tahukahkamu.org: http://www.tahukahkamu.org/article.php?id=106

Basrie, R. (2013, September 13). Mengenal Hukum Phytagoras Dan Sifatnya. Retrieved Maret 11, 2016, from Sharing Informasi: http://reyismyname.blogspot.co.id/2013/09/mengenal-hukum-phytagoras-dan-sifatnya.html

Wardana, D. A. (2009, Juni 20). Sejarah Singkat Teorema Pythagoras. Retrieved Maret 11, 2016, from Forum Matematika Online: http://math07.findtalk.biz/t38-sejarah-singkat-teorema-pythagoras

Fakta Menarik Tentang "Pi"

Siapa sih yang tidak kenal dengan rumus luas dan keliling lingkaran? Apalagi yang sekarang sedang duduk di bangku sekolah, pastinya tidak asing lagi dengan rumus-rumus tersebut, kan? Di dalam rumus-rumus tersebut terdapat simbol/lambang π atau yang biasa dibaca “pi”. Biasanya nilai pi sama dengan 22/7 atau 3,14. Dalam hal ini, apakah Anda pernah berpikir darimana nilai pi diperoleh? Bagaimana asal-usul nilai pi? Ingin tahu? Yuk, kita kenal lebih dekat mengenai pi!

Dalam matematika, bilangan pi bukan sekedar bilangan biasa yang muncul secara tiba-tiba tanpa diketahui asal usulnya. Melainkan, pi diambil dari huruf Yunani “Piwas” yang merupakan abjad Yunani yang ke-16.

(google.com)

Menurut Wikipedia Bahasa Indonesia, “Bilangan π  (kadang-kadang ditulis pi) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Nilai π dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846. Banyak rumus dalam matematika, sains, dan teknik yang menggunakan π, yang menjadikannya salah satu dari konstanta matematika yang penting”.

Tahukah Anda? Bahwa π merupakan bilangan irasional, yang berarti nilai π tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat (biasanya pecahan 22/7 digunakan sebagai nilai pendekatan π; namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai eksak π.)

Oleh karena itu pula, representasi desimal  π tidak akan ada ujungnya dan tidak akan pernah memiliki pola angka tertentu yang permanen. Digit-digit desimal  π tampaknya terdistribusikan secara acak, walaupun sampai saat ini hal tersebut masih belum dapat dibuktikan.

Pi juga merupakan bilangan transendental, yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari polinom non-konstan berkoefisien rasional manapun seperti Transendensi π mempunyai dua konsekuensi penting.

Tidak seperti yang kita ketahui selama ini bahwa sebenarnya Pi tidak sama dengan 22/7. Dengan menganalisa dengan metode kalkulus dan geometri analitik, nilai pi dicari dengan berbagai cara :

Misalnya

= 4 (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …) atau

= 4 (3/4 + 1/(2*3*4) – 1/(4*5*6) + 1/(6*7*8) -……) atau

= 2 (1 + 1/3 + (1*2)/(3*5) + (1*2*3)/(3*5*7) + ………….) atau masih banyak cara lainnya.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan antara Pi 3,14 dan Pi 22/7 :

Tepatnya Pi           =   3.14159265358979….
Kalau 22/7             = 3.14285714285714…
maka selisihnya     = 0.00126448926734968…

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa apabila seorang ilmuwan menerapkan perhitungan peluncuran rudal yang jaraknya ratusan atau bahkan ribuan Km, maka selisih tersebut menjadi sangat berarti. Karena setiap 0,001 saja akan menggeser arah ketepatan target, bahkan dapat melenceng jauh dari target.

Maka untuk tingkat akurasi yang tinggi dipergunakan bilangan Pi (3,14). Sedangkan untuk tingkat akurasi yang rendah dapat menggunakan 22/7 untuk memudahkan sehingga tidak harus menghafal angka Pi yg terdiri dari 17 digit atau lebih.

Sedikit menelisik tentang sejarahnya, bahwa simbol π (pi) ini awal mulanya diusulkan pada tahun 1706 oleh seorang ahli matematika yang bernama Wels William Jones. Pada awalnya, nilai pi yaitu 3,14159 dalam angka desimal biasa.

Selama beribu-ribu tahun para ahli matematika telah berusaha untuk memperluas pemahaman akan bilangan π. Hal ini kadang-kadang dilakukan dengan menghitung nilai bilangan π hingga keakuratannya yang sangat tinggi.

Sebelum abad ke-15, para matematikawan seperti Archimedes dan Liu Hui memperkirakan nilai π  dengan menggunakan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon. Mulai abad ke-15, algoritme baru yang didasarkan pada deret tak terhingga merevolusi perhitungan nilai π. Metode ini digunakan oleh para ahli matematika seperti Madhava dari Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, dan Srinivasa Ramanujan.

Hingga pada abad ke-20 dan ke-21, para ahli matematika dan ilmuwan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal π sampai dengan lebih 10 triliun (10¹³) digit.

Penerapan bilangan π dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari 40 digit desimal π, sehingga motivasi utama dari komputasi ini didasarkan pada keingintahuan manusia. Perhitungan ekstensif seperti ini juga digunakan untuk menguji kemampuan superkomputer dan algoritma perkalian presisi tinggi.

Berikut ini beberapa fakta menarik yang mungkin belum Anda ketahui mengenai π (pi):

Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika asal Welsh, William Jones mulai memperkenalkan abjad Yunani pi untuk mewakili nilai yang dikatakan. Namun, pada tahun 1737, Leonhard Euler resmi mengadopsi simbol tersebut untuk mewakili bilangan.

Pada tahun 1706, John Machin memperkenalkan suatu rumus untuk menghitung nilai pi yaitu :
π/4 = 4 arctan (1 / 5) – arc tan (1 / 239).

Pada tahun 1949, ia juga menghabiskan waktu sekitar 70 jam untuk menghitung 2.037 tempat desimal pi menggunakan ENIAC (Electronic Numeric Integrator and Computer).

Sebagian besar orang pada waktu itu tidak mengetahui fakta bahwa lingkaran memiliki jumlah sudut yang tak terbatas.

Masyarakat Babilonia yang melakukan perhitungan menyebutkan bahwa angka pi adalah sedikit lebih besar dari 3, kira-kira 31/8 atau 3,125.

Nilai dari pi adalah 22 / 7 dan ditulis sebagai = 22 / 7 atau = 3,14.

Pi tidak hanya sebuah bilangan irasional tetapi juga bilangan yang sulit dipahami

Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai yang paling akurat untuk pi. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil.

Seorang pengusaha di Cleveland, Amerika Serikat, menerbitkan buku pada pada tahun 1931 untuk mengumumkan bahwa nilai pi adalah 256/81.

Jika mencetak miliaran dari desimal pi, maka angka itu akan merentang dari New York City ke Kansas.

Nilai pi dengan 100 tempat desimal pertama adalah: 3,1415926535897932384626433832 79502884197169399375 105820974944 592307816406286208998628034825 3421170679…

Tidak ditemukannya angka nol dalam 31 digit pertama dari nilai pi.

Sebelum era computer, perhitungan pi yang paling akurat adalah yang dilakukan D.F Ferguson. Ia berhasil menghitung nilai pi hingga 620 angka di belakang koma.

Pada era selanjutnya, kemajuan besar diperoleh. Tahun 1947, perhitungan dengan kalkulator membuahkan hasil nilai pi hingga 710 angka di belakang koma.

Pada tahun 1999 Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo membutukan waktu sekitar 116 jam untuk menemukan sebanyak 6442450000 tempat desimal pi dengan menggunakan super komputer HITACHI SR8000/MPP.

Kemudian pada Agustus 2009, Daisuke Takahashi juga menggunakan super komputer T2K Open untuk menghitung nilai pi. Setelah menghitung selama 73 jam 36 menit, super komputer tersebut berhasil menghitung bilangan π dalam 2.576.980.377.524 angka desimal.

Seorang Ahli Matematika asal Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh hidupnya untuk menghitung 35 tempat desimal pertama pi.

Di samping perhitungan geometri sehari-hari, nilai pi juga digunakan dalam berbagai persamaan ilmiah termasuk rekayasa genetika, mengukur reaksi, distribusi normal, dan sebagainya.

Rekor terbaru dipegang oleh Kondo dan Yee, dengan menggunakan  superkomputernya berhasil menghitung pi hingga 5 triliun angka di belakang koma dalam waktu 90 hari. Sebanyak 20 hard disk eksternal dibutuhkan. Verifikasi membutuhkan waktu 68 jam.

Satu per satu rekor perhitungan pi akan terkalahkan seiring berjalannya waktu. Namun, hingga kini ujung dari pi belum ditemukan. Bahkan, pi mungkin tidak memiliki ujung.

14 Maret selalu diperingati sebagai Pi day (hari Pi). Tanggal tersebut dipilih sebab dalam format penulisan bulan/tanggal (3/14) tepat merepresentasikan Pi.

Sekedar mengingatkan: – Pi berbeda dengan phi , kalau phi itu gelombang ratio. – 360° = 2π radian, jadi 180° = 1π radian.

 

Daftar Pustaka

Anonim. (2016, Februari 22). Pi. Retrieved Februari 24, 2016, from Wikipedia Bahasa Indonesia: https://id.wikipedia.org/wiki/Pi

Dhee. (2013, Maret 9). Nilai Pi si Bilangan Gaib. Retrieved Februari 22, 2016, from Science Geek: https://chimbs.wordpress.com/2013/03/09/nilai-pi-%CF%80-si-bilangan-gaib/

Tom. (2014, Desember 26). Misteri Nilai Phi: Rumus Luas & Keliling Lingkaran. Retrieved Februari 22, 2016, from Indogeek: http://www.indogeek.com/2014/12/misteri-nilai-phi-rumus-luas-keliling-lingkaran.html